Sommersemester 2014, TU Dortmund
Vorlesung: Montags 16:15 in M/611, Donnerstags 10:15,
M/511
Übung: Mittwochs 8:15 in M/511 (Anfang 16.4.2014)
Sprechstunde: Dienstags 11:00-12:00 oder nach
Vereinbarung
Eintrag im Vorlesungsverzeichnis: hier
Übungsblätter:
Blatt 1 - Abgabe 16.4.2014
Blatt 2 - Abgabe 23.4.2014
Blatt 3 - Abgabe 7.5.2014
Blatt 4 - Abgabe 14.5.2014
Blatt 5 - Abgabe 21.5.2014
Blatt 6 - Abgabe 28.5.2014
Blatt 7 - Abgabe 4.6.2014
Blatt 8 - Abgabe 11.6.2014
Blatt 9 - Abgabe 18.6.2014
Blatt 10 - Abgabe 25.6.2014
Blatt 11 - Abgabe 2.7.2014
Blatt 12 - Abgabe 9.7.2014
Blatt 13 - Abgabe 16.7.2014
Inhalt:
Gewöhnliche Differentialgleichungen beschreiben zahlreiche
Prozesse in der Physik, Biologie, Chemie oder, z.B. Soziologie und
Wirtschaft. Die meisten Differentialgleichungen können nicht
explizit gelöst werden. Es ist aber oft möglich qualitative
Aussagen über die Lösungen zu treffen. Für eine Lösung, wie z.B.
die Anzahl von infizierten in einer Population, können sich solche
Aussagen erstens auf die Form der Lösung beziehen: die Asymptotik
für lange Zeiten, ob die Lösung periodisch ist oder zu einem
Fixpunkt konvergiert usw. Zweitens gibt es bei einer Lösung die
wichtige Frage von Stabilität: ändert sich die Lösung wenig, wenn
die Anfangsbedingung wenig variiert wird oder ist die Änderung
nach einer langen Zeit groß? Eine weitere Fragestellung, die wir
betrachten werden, ist die Abhängigkeit der Lösungen von
Parametern, z.B. von der Reproduktionsrate der Räuber in einem
Räuber-Beute Problem. Falls sich die Lösung bei einem
Parameterwert qualitativ ändert, sprechen wir von einer
Verzweigung.
Vorläufige Themenliste:
1) Grundlagen:
- stetige Abhängigkeit von Parametern und Anfangsdaten
- Phasenporträt, Fixpunkte, periodische Orbits, homoklinische und
heteroklinische Lösungen, omega-Limit-Menge, Attraktor
- Floquet-Theorie
2) Stabilitätstheorie
- Linearisierungsmethode
- Satz über die stabile, instabile Mannigfaltigkeit für
hyperbolische Fixpunkte
- Lyapunov-Methode für Stabilität
- Poincare-Abbildung
- linear Stabilität von periodischen Lösungen
3) Verzweigungstheorie
- Verzweigungstypen: Sattel-Knoten; transkritisch; Pitchfork;
Hopf;
- Melnikov-Methode
- Lyapunov-Schmidt-Zerlegung
Literatur: