Dispersive partielle Differentialgleichungen (3+1 SWS)

Wintersemester 2015-16, TU Dortmund

3+1 SWS wird folgendermaßen verlaufen:
- eine Woche zwei Vorlesungen
- nächste Woche eine Vorlesung und eine Übung

Vorlesung/Übung: Mi 10:15, M/1011
Vorlesung: Fr 08:30, M/511

Sprechstunde: Dienstags 11:00-12:00 oder nach Vereinbarung

Eintrag im Vorlesungsverzeichnis: hier

Skript

Übungsblätter:
Blatt 1 - wird besprochen 30.10.2015
Blatt 2 - Abgabe 16.11.2015, wird besprochen 18.11.2015
Blatt 3 - Abgabe 30.11.2015, wird besprochen 2.12.2015
Blatt 4 - Abgabe 14.12.2015, wird besprochen 16.12.2015
Blatt 5 - Abgabe 11.1.2016, wird besprochen 13.1.2016
Blatt 6 - Abgabe 25.1.2016, wird besprochen 27.1.2016
Blatt 7 - Abgabe 8.2.2016, wird besprochen 10.2.2016

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Die Ausbreitung von Wellen ist in meisten Fällen (in der Natur und in Anwendungen) dispersiv. Dispersion heißt, dass Wellen mit unterschiedlichen Wellenlängen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausbreiten. Diesen Effekt kann man zum Beispiel an den krisförmigen Wasserwellen beobachten, die nach einem Steinwurf ins Wasser entstehen. Dispersion verursacht zum Beispiel auch, dass lokalisierte Wellen (Impulse) während der Zeit immer breiter und delokalisierter werden. Dispersion ist aber auch ein Glättungsmechanismus, d.h. Lösungen sind glätter als Anfangsdaten. Diese Eigenschaften gelten aber nur im linearen Fall, d.h. wenn die Gleichung linear ist. Im nichtlinearen Fall (der oft physikalisch der richtige ist) ist die Dynamik viel interessanter und eine Welle, die lokalisiert für alle Zeiten bleibt, ist oft möglich. Spezielle Beispiele sind Solitärwellen und Solitone.

Themen:
1) Allgemeine lineare Theorie
- Dispersionsrelation, Gruppengeschwindigkeit, Phasengeschwindigkeit
- Asymptotik von dispersiven Wellen für lange Zeiten
- Energie-Ausbreitung, Ausbreitungsgeschwindigkeit

2) Lineare Schrödinger-Gleichung
- Darstellungsformel für die Lösung
- Glättungseigenschaft der Dispersion

3) Wasserwellen
- Modellierung
- Kapillarwellen, Gravitationswellen
- asymptotische Fälle: Flachwasserwellen, Tiefwasserwellen

4) Wellen in periodischen Strukturen
- Bloch-Wellen
- Bloch-Transformation, Bandstruktur

5) Nichtlineare dispersive Wellen (z.B. Flachwasserwellen, nichtlineare Optik):
- Approximation durch asymptotische Amplitudengleichungen: Korteweg-de Vries Gl. (KdV) für Flachwasserwellen und für das Fermi-Pasta-Ulam-Problem
- Nichtlineare Schrödinger-Gl. (NLS) als universelles Modell für kleine Wellenpakete
- Fehlerabschätzung der Approximation durch NLS für die nichtlineare Wellengleichung

6) Hamiltonische Struktur der KdV und NLS

Anwendungen: Wasserwellen, nichtlineare Optik, Balkenschwingungen, Vibrationen mit einer linearen Rückstellkraft, Licht in photonischen Kristallen, ...

Weitere Literatur
- M. Ablowitz. Nonlinear Dispersive Waves: Asymptotic Analysis and Solitons. Cambridge Texts in Applied Mathematics. Cambridge University Press, 2011.
- L. Evans. Partial Dierential Equations. Graduate studies in mathematics. American Mathematical Society, 1999.
- F. Linares and G. Ponce. Introduction to Nonlinear Dispersive Equations. Universitext - Springer-Verlag. Springer, 2009.
- G. Whitham. Linear and nonlinear waves. Pure and applied mathematics. Wiley, 1974.

Ein Experiment mit Kapillarwellen: