Dispersive partielle Differentialgleichungen (2+1 SWS)

Sommersemester 2018, MLU Halle

2+1 SWS (Übung alle zwei Wochen)

Vorlesung: Mi 14:15-15:45, Cantor-H SR ?
Übung: Do 14:15-15:45, Cantor-H SR 1 (alle zwei Wochen, ab 19.4.)

Sprechstunde: Mittwochs 11:00-12:00 oder nach Vereinbarung

Eintrag im Stud-IP: hier

Skript

Übungsblätter:
1: Blatt 1 - wird besprochen 19.4.2018
2: Blatt 2 - wird besprochen 3.5.2018
3: Blatt 3 - wird besprochen 17.5.2018
4: Blatt 4 - wird besprochen 31.5.2018
5: Blatt 5 - wird besprochen 14.6.2018
6: Blatt 6 - wird besprochen 28.6.2018
7: Blatt 7 - wird besprochen 12.7.2018

Handout zur Vertauschung von Grenzuebergaengen

Matlab Codes für die Langzeitasymptotik der Lösung der linearen Schrödinger-Gleichung: main code, Schroedinger solver, Schroedinger solver (with a potential)
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Beschreibung:

Die Ausbreitung von Wellen ist in meisten Fällen (in der Natur und in Anwendungen) dispersiv. Dispersion heißt, dass Wellen mit unterschiedlichen Wellenlängen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausbreiten. Diesen Effekt kann man zum Beispiel an den krisförmigen Wasserwellen beobachten, die nach einem Steinwurf ins Wasser entstehen. Dispersion verursacht zum Beispiel auch, dass lokalisierte Wellen (Impulse) während der Zeit immer breiter und delokalisierter werden. Dispersion ist aber auch ein Glättungsmechanismus, d.h. Lösungen sind glätter als Anfangsdaten. Diese Eigenschaften gelten aber nur im linearen Fall, d.h. wenn die Gleichung linear ist. Im nichtlinearen Fall (der oft physikalisch der richtige ist) ist die Dynamik viel interessanter und eine Welle, die lokalisiert für alle Zeiten bleibt, ist oft möglich. Spezielle Beispiele sind Solitärwellen und Solitone.

Themen:
1) Allgemeine lineare Theorie
- Dispersionsrelation, Gruppengeschwindigkeit, Phasengeschwindigkeit
- Asymptotik von dispersiven Wellen für lange Zeiten
- Energie-Ausbreitung, Ausbreitungsgeschwindigkeit

2) Lineare Schrödinger-Gleichung
- Darstellungsformel für die Lösung
- Glättungseigenschaft der Dispersion

3) Wasserwellen
- Modellierung
- Kapillarwellen, Gravitationswellen
- asymptotische Fälle: Flachwasserwellen, Tiefwasserwellen

4) Wellen in periodischen Strukturen
- Bloch-Wellen
- Bloch-Transformation, Bandstruktur

5) Nichtlineare dispersive Wellen (z.B. Flachwasserwellen, nichtlineare Optik):
- Approximation durch asymptotische Amplitudengleichungen: Korteweg-de Vries Gl. (KdV) für Flachwasserwellen und für das Fermi-Pasta-Ulam-Problem
- Nichtlineare Schrödinger-Gl. (NLS) als universelles Modell für kleine Wellenpakete
- Fehlerabschätzung der Approximation durch NLS für die nichtlineare Wellengleichung

6) Hamiltonische Struktur der KdV und NLS

Anwendungen: Wasserwellen, nichtlineare Optik, Balkenschwingungen, Vibrationen mit einer linearen Rückstellkraft, Licht in photonischen Kristallen, ...

Weitere Literatur
- M. Ablowitz. Nonlinear Dispersive Waves: Asymptotic Analysis and Solitons. Cambridge Texts in Applied Mathematics. Cambridge University Press, 2011.
- L. Evans. Partial Dierential Equations. Graduate studies in mathematics. American Mathematical Society, 1999.
- F. Linares and G. Ponce. Introduction to Nonlinear Dispersive Equations. Universitext - Springer-Verlag. Springer, 2009.
- G. Whitham. Linear and nonlinear waves. Pure and applied mathematics. Wiley, 1974.

Ein Experiment mit Kapillarwellen: