Sommersemester 2015, TU Dortmund
Vorlesung: Montags 16:00 in M/611
Übung: Dienstags 12:15 in M/E19
ERSTE VORLESUNG: 9.4. um 12:15 in M/1011
Sprechstunde: Dienstags 11:00-12:00 oder nach
Vereinbarung
Eintrag im Vorlesungsverzeichnis:
Zusammenfassung:
Das Ziel dieser Vorlesung ist die Analysis von Funktionen und
Gleichungen in unendlichdimensionalen Räumen, typischerweise
Banachräumen. Dies hat eine große angewandte Relevanz, da z.B. die
Lösungen von Differentialgleichungen und Integralgleichungen in
Banachräumen liegen.
Viele Gleichungen können als Fixpunktprobleme geschrieben werden,
deswegen werden Fixpunktsätze eine wichtige Rolle spielen. Neben
dem schon bekannten Banachschen Fixpunktsatz für Kontraktionen
besprechen wir den Brouwerschen und den Schauderschen Satz für
stetige Selbstabbildungen von kompakten, konvexen Mengen. Globale
Information über die Lösungsstruktur von Gleichungen in
Banachräumen kann mit Hilfe des Leray-Schauderschen
Abbildungsgrades bekommen werden.
Ein weiteres Thema sind Fredholmoperatoren und die
Lyapunov-Schmidt-Reduktion, die es erlaubt ein unendlich
dimensionales Problem zu einem endlich dimensionalen zu
reduzieren. Dies findet Anwendungen in der Verzweigungstheorie.
Die wichtigsten Themen sind:
1) Ableitung und Integration in Banachräumen
2) Sätze über die implizite und die inverse Funktion
3) Fixpunktsätze: Banach, Brouwer, Schauder
4) Leray-Schauderscher Abbildungsgrad
5) Fredholmoperatoren; Lyapunov-Schmidt-Reduktion
Literatur:
1) B. Schweizer, Nichtlineare Analysis, Vorlesungsskript, TU
Dortmund, 2010.
2) P. Drabek, J. Milota, Methods of Nonlinear Analysis:
Applications to Differential Equations, Springer, 2013.
3) P. Drabek, J. Milota, Lectures on Nonlinear Analysis, Plzen:
Vydavatelsky servis, 2004.
4) K.Ch. Chang, Methods in Nonlinear Analysis, Springer, 2005.
Referenzen 1 und 2 sollten völlig ausreichen.