Nichtlineare Analysis

Dozent: Tomas Dohnal

Sommersemester 2020, MLU Halle
Vorlesung:
Montags 10:15-11:45 in VSP1 - 1.27
Übung: Mittwochs 10:15-11:45 in VSP1 - 1.27  (zweiwöchentlich)

Sprechstunde: Montags 13:00-14:00 oder nach Vereinbarung

Eintrag im StudIP: hier

Zusammenfassung:

Das Ziel dieser Vorlesung ist die Analysis von Funktionen und Gleichungen in unendlichdimensionalen Räumen, typischerweise Banachräumen. Dies hat eine große angewandte Relevanz, da z.B. die Lösungen von Differentialgleichungen und Integralgleichungen in Banachräumen liegen.

Viele Gleichungen können als Fixpunktprobleme geschrieben werden, deswegen werden Fixpunktsätze eine wichtige Rolle spielen. Neben dem schon bekannten Banachschen Fixpunktsatz für Kontraktionen besprechen wir den Brouwerschen und den Schauderschen Satz für stetige Selbstabbildungen von kompakten, konvexen Mengen. Globale Information über die Lösungsstruktur von Gleichungen in Banachräumen kann mit Hilfe des Leray-Schauderschen Abbildungsgrades bekommen werden.

Ein weiteres Thema sind Fredholmoperatoren und die Lyapunov-Schmidt-Reduktion, die es erlaubt ein unendlich dimensionales Problem zu einem endlich dimensionalen zu reduzieren. Dies findet Anwendungen in der Verzweigungstheorie.

Die wichtigsten Themen sind:
1) Ableitung und Integration in Banachräumen
2) Sätze über die implizite und die inverse Funktion
3) Fixpunktsätze: Banach, Brouwer, Schauder
4) Leray-Schauderscher Abbildungsgrad
5) Fredholmoperatoren; Lyapunov-Schmidt-Reduktion

Literatur:
1) B. Schweizer, Nichtlineare Analysis, Vorlesungsskript, TU Dortmund, 2010.
2) P. Drabek, J. Milota, Methods of Nonlinear Analysis: Applications to Differential Equations, Springer, 2013.
3) K.Ch. Chang, Methods in Nonlinear Analysis, Springer, 2005.
Referenzen 1 und 2 sollten völlig ausreichen.