Diese Podcastfolgen und Videos beziehen sich auf die Vorlesung "Algebra", wie ich sie im Wintersemester 2017/18 und 2019/20 gehalten habe. Die Vorlesungen sind etwas unterschiedlich, weil ich 2019/20 nach dem Buch "Elementare Algebra und Zahlentheorie" (mit G. Stroth) gelesen habe. Es gibt einzelne Folgen, die über den Stoff der Algebra-Vorlesung hinausgehen und aus fortgeschritteneren Vorlesungen motiviert sind.


Podcastfolgen zum Thema Ringe, Verschiedenes:

• "Kurze Wiederholung: Faktorring, Faktorgruppe"
  Was sind noch mal Faktorstrukturen? Wir beginnen bei Ringen und erinnern uns zurück.
• "Was vererbt sich wie?"
  Ist jedes Ideal ein Teilring? Oder umgekehrt? Wie vererben sich Ringeigenschaften auf Teilringe oder Faktorringe?
• "Einheiten und Assoziierte"
  Haufenweise Beispiele zu genau diesen Themen.
• Video "Veranschaulichungen zum Thema Ringe"
  Hier erzähle ich etwas dazu, wie man die verschiedenen Klassen von Ringen, die wir bisher kennengelernt haben, voneinander abgrenzen und sich das veranschaulichen kann. Es wird gemalt!
• "Irreduzibel oder nicht?"
  Hier schauen wir mit verschiedenen Eselsbrücken und Erklärungsansätzen auf das Thema Irreduzibilität, speziell auf typische Fehler und Unklarheiten. Es werden konkrete Beispiele in vier verschiedenen Ringen besprochen.
• "Ringe: Ein Auffrischungskurs"
  Für manch eine fortgeschrittene Vorlesung ist gutes Grundlagenwissen über Ringe wichtig, etwa in der Galoistheorie! Also los, wir wiederholen die Highlights.
• "Ringe sind seltsam"
  Seltsame Ringe und wo sie zu finden sind: Wir organisieren einen ganzen Zoo an Beispielen!

Podcastfolgen zu Idealen:

• "Satz 3.6 und Lemma 3.12"
  Hier gibt es allgemeine Anmerkungen zur Vorlesung, dann etwas zum Thema Ideale und dann noch spezielle Kommentare zu zwei Resultaten aus der Vorlesung - was die bedeuten und wie man sie anwenden kann.
• "Hauptideale"
  Es wurden Beispiele für Hauptideale und Hauptidealringe gewünscht, kurz und knackig. Voilà!
• Video "Veranschaulichungen zum Thema Ideale"
  Wir schreiben und malen wieder, diesmal zum Thema Ideale. Was wissen wir, wie kann man das verknüpfen und sich merken? Was für Eselsbrücken und Beispiele können helfen?
• Miniserie Ideale "Definition und Veranschaulichung"
  Wo und wie sind Ideale definiert? Was bedeuten die definierenden Eigenschaften?
• Miniserie Ideale "Beispiele und Unbeispiele"
  Der Name sagt alles. Oder?
• Miniserie Ideale "Was liegt drin, was nicht?"
  Wir nehmen einen Ring her, den wir kennen, dann ein Ideal, und wir spielen das Spiel "Was liegt im Ideal, was nicht?". So bekommen wir ein Gefühl dafür, wie wir mit Idealen arbeiten können.
• Miniserie Ideale "Hauptideale"
  Hier besprechen wir verschiedene Sichtweisen auf Hauptideale und Möglichkeiten zur Argumentation.
• Miniserie Ideale "Wo Ideale vorkommen"
  Wo treten Ideale natürlicherweise auf, wenn wir uns mit Ringen beschäftigen?
• Miniserie Ideale "Besondere Ideale"
  Wir reden über Primideale, maximale Ideale und Hauptideale, und was die so besonders macht.
• Miniserie Ideale "Sammlung von Resultaten"
  Übersicht über relevante Resultate aus der Vorlesung, Verbindungen und typische Argumentationslinien.

Podcastfolgen zur Teilbarkeit in Ringen:

• "Teiler"
  Kurze Folge zu zwei Fragen: Wie sehe ich bei ganz konkreten Ringelementen, ob bzw. dass eins das andere teilt? Und wenn R ein Ring ist, wie finde ich dann zu jedem Element von R alle Teiler dieses Elements in R?
• "Faktorielle Ringe und ggT"
  Beispiele für faktorielle Ringe und ggT, aber auch ein Beispiel, wo das Konzept ggT schiefgeht!
  
• "Noch mehr ggT, Teil 1"
  Beispiel zum Euklidischen Algorithmus und ... ein Cliffhanger!
  
• "Noch mehr ggT, Teil 2"
  Warum eigentlich "größter" gemeinsamer Teiler? Und warum nehmen wir nicht wirklich die Größe, so wie in der Schule? Wir besprechen ein Beispiel, das zeigt, dass sogar in Teilringen der komplexen Zahlen manchmal keine ggT definiert werden können.
  

Podcastfolgen zu Polynomringen:

• "Polynome I"
  Beispiele, Anmerkungen, Hinweise auf typische Fehler.
• "Polynome II"
  Noch mehr Beispiele, speziell zu Z[x] und Q[x].
• "Minifolge zu irreduziblen Polynomen"
  Wiederholung und ein paar Anmerkungen.
• "Polynomringe für Fortgeschrittene"
  Ausgehend von einer sehr guten Frage aus der Galoistheorie behandeln wir hier Isomorphismen von Polynomringen.
• "Irreduzibilität von Polynomen in verschiedenen Polynomringen"
  Manche Polynome sind in Z[x] irreduzibel, in Q[x] aber nicht. Oder umgekehrt. Was ist da los?

Podcastfolgen zu Modularrechnung:

• "Der Kleine Satz von Fermat"
  In dieser Minifolge besprechen wir einige konkrete Beispiele für diesen Satz.
• "Chinesischer Restsatz"
  Mit konkreten Beispielen wird motiviert, dass Modularrechnung im Alltag oder für Quizfragen nützlich sein kann. Dann kommt ein konkretes Beispiel für den chinesischen Restsatz mit drei Kongruenzen.
• "Berechnung von Potenzen modulo ...".
  Wir besprechen verschiedene Tricks beim Rechnen mit Potenzen modulo irgendwas. Dabei gibt es verschiedene Schwierigkeitsstufen bei Mitmachen - drücken Sie rechtzeitig auf "Pause"!
• "Kongruenzen und Polynome".
  In der Vorlesung wechseln wir manchmal zwischen zwei Perspektiven: Kongruenzen mit ganzen Zahlen und Variablen oder Polynome in einem Faktorring der ganzen Zahlen. Das wird hier näher beleuchtet.
• "Multiplikation modulo n".
  Motiviert durch eine Aufgabe aus der Vorlesung "Zahlentheoire" geht es um die Multiplikation ganzer Zahlen modulo einer natürlichen Zahl n. Wie formalisieren wir das ordentlich?
• "Modularrechnung in Z[i]".
  Modularrechnung für Fortgeschrittene, denn wir arbeiten im Ring Z[i]! Das kommt in der Algebra vor und spielt auch in der Galoistheorie eine Rolle.

Podcastfolgen zu linearen und quadratischen Gleichungen und Kongruenzen:

• "Wunschzettel II"
  Wir berechnen Legendre-Symbole mit großen Einträgen und schauen uns u.a. noch lineare Kongruenzen an.
• "Gleichungen"
  Anlässlich der Wiederholungsklausur gibt es hier Anmerkungen, Beispiele und Warnhinweise zum Thema Gleichungen.
• "Gleichungen für Fortgeschrittene"
  Eine etwas andere Gleichung! Da braucht man zuerst eine Idee, bevor man wie gewohnt mit Kongruenzen und quadratischen Resten argumentieren kann.

Podcastfolgen zu Körper(erweiterunge)n:

• "Was sollen Körpererweiterungen?"
  Hier gibt es Motivation für das Konzept "Körpererweiterung", das ist also quasi ein Werbespot für die Vorlesung Galoistheorie.
• "Am Anfang steht ein Polynom"
  Noch mehr Werbung für Galoistheorie, diesmal mit einem konkreten Beispiel. Alles beginnt mit einem Polynom.
• "Beispiele für Körpererweiterungen"
  Hier gibt es gleich mehrere Beispiele für Körpererweiterungen. Was bedeutet "adjungiert", wie berechnen wir einen Erweiterungsgrad?
• "Der Erweiterungsgrad"
  Beispiele für Körpererweiterungen und speziell die Berechnung des Erweiterungsgrads.
• "Körpererweiterungen für Fortgeschrittene"
  Beispiele für Körpererweiterungen mit zyklischer Galoisgruppe.

Podcastfolgen zu Gruppen:

• "Inverse von Permutationen"
  Wie berechnen wir das Inverse einer konkreten Permutation aus einer symmetrischen Gruppe?
• "Erzeugnisse"
  Was ist noch mal ein Erzeugnis in einer Gruppe? Wir erinnern uns und besprechen Beispiele.
• "Nebenklassen und Faktorgruppen"
  Hier betrachten wir verschiedene Beispiele für Faktorgruppen und beleuchten die Rolle der Repräsentanten von Nebenklassen.
• "Nicht-abelsche Gruppen und Nebenklassen"
  Beispiele für nicht-abelsche Gruppen und, in einigen dieser Gruppen, Beispiele für Rechtsnebenklassen.
• "Lagrange"
  Hier gibt es Beispiele zur Anwendung des Satzes von Lagrange.
• "Gruppenoperation"
  Es werden Resultate aus der Vorlesung eingeordnet, die mit Gruppenoperationen zu tun haben. Es beginnt mit "Bahnenlänge=Stabilisatorindex".
• "Konjugation"
  Die Konjugation in einer Gruppe ist ein wichtiges Beispiel füur eine Gruppenoperation. Also üben wir!
• "Untergruppen und Nebenklassen - ein ungewöhnliches Beispiel"
  Es gab eine sehr spezielle Aufgabe zu einer kleinen symmetrischen Gruppe, um dafür zu sensibilisieren, warum das Konzept der Faktorgruppe nur mit Normalteilern funktioniert. Hier bespreche ich diese Aufgabe.
• "Untergruppen und der Satz von Sylow"
  Gegeben ist eine Gruppe, von der wir nur die Ordnung kennen. Für welche Teiler der Ordnung finden wir Untergruppen dieser Ordnung, und ggf. wie viele? Das besprechen wir an zwei Beispielen.
• "Beispiele für den Satz von Sylow"
  Wie der Name sagt, inklusive eines Vorgriffs im Vorlesungsstoff.
• "Zentralisator und Normalisator"
  Was ist noch mal der Normalisator einer Untergruppe? Und der Zentralisator? Wie finde ich heraus, ob ein Gruppenelement eine gegebene Untergruppe zentralisiert oder normalisiert?
• "p-Gruppen"
  Wie bastle oder erkenne ich p-Gruppen? Wie wende ich den Satz von Sylow an?
• "Spezialfragen zu p-Gruppen"
  Jetzt geht es wirklich ins Detail, mit einer Variation des Beispiels aus der Podcastfolge "p-Gruppen" oben.
• "Wie berechne ich die Ordnung einer Untergruppe?"
  Der Name sagt alles - dazu gibt es immer wieder viele Fragen und es gibt so viele Möglichkeiten für Fehler!
• Hintergrund Darstellungstheorie: Die Top 10 aus der (Linearen) Algebra
• Hintergrund Darstellungstheorie: Einige Details zu Aufgabe 2 von Serie 2
• Hintergrund Darstellungstheorie: Gruppentheorie, speziell Satz von Sylow

Podcastfolgen zu verschiedenen Themen:

• "Mehrere Fragen, u.a. zur Eulerschen Phi-Funktion"
  Hier wird u.a. ausführlich besprochen, warum sich die Eulersche Phi-Funktion bei einem Produkt teilerfremder Zahlen mit der Multiplikation verträgt.
• "Beispiele für den Fermat-Primzahltest"
  Mini-Podcastfolge, der Name sagt alles!
• "Fermat-Zahlen"
  In der Vorlesung wurde ich gefragt, mit welchen Methoden man eigentlich vor über 250 Jahren gearbeitet hat, wenn man z.B. herausfinden wollte, ob eine große Zahl prim ist. Sehr spannend, Stichwort: Fermat-Zahlen!
• "Größe von Äquivalenzklassen"
  Hier werden zwei Beispiele für Äquivalenzklassen besprochen: Einmal sind die Äquivalenzklassen alle gleich groß, einmal unterschiedlich groß.
• "Wunschzettel I"
  Es gibt Beispiele für den Chinesischen Restsatz und dafür, wie man in verschiedenen Ringen ggTs berechnen kann.
• "Das Legendre-Symbol"
  Hier besprechen wir Beispiele und Tipps für die Verwendung des Werkzeugkastens und Rechentricks. Außerdem gibt es Warnhinweise zu den häufigsten Fehlern.
• "Wunschzettel III"
  Hier geht es um zyklische Gruppen und darum, wie man alle Teiler einer ganzen Zahl in Z[i] finden kann.
• "Fragensammlung zum Jahresbeginn (2018)"
  Eine kleine Sammlung von Beispielen rund um das Rechnen in Permutationsgruppen, Fragen zu Normalisator, Zentralisator etc. und ... die Geschichte der Fragenraupe Jean-Luc!

Podcastfolgen zur Prüfungsvorbereitung:

• "Kurz oder lang?"
  Wie lernen Sie besser? In mehreren kurzen Abschnitten oder lieber lange am Stück?
• "Wechseln!"
  Hier erzähle ich, warum es beim Lernen hilft, wenn sich Schwierigkeitsgrade, Themen und Aufgabentypen abwechseln und wie Sie das bei Ihrer Vorbereitung einbauen können.
• "Fit, wenn es darauf ankommt!"
  Wann findet Ihre Prüfung statt und wie können Sie dafür sorgen, dass Sie dann möglichst wach und fit sind?
• "Aufbau der Klausur"
  Allgemeine Infos dazu, was Sie in der Modulklausur Algebra erwartet.
• "Rechnen vs. Beweisen"
  Was für Aufgabentypen kommen in der Klausur vor? Worauf muss ich achten, je nachdem, ob es eher um konkretes Ausrechnen oder um abstraktes Argumentieren geht?
• "Schummelzettel"
  Tipps zur Erarbeitung Ihres ganz persönlichen Spickzettels zur Klausur. Was muss drauf, wie teste ich ihn?
• "Umgang mit Katastrophen"
  Manchmal geht was schief, mitten in der Klausur. Was dann? Beispiele und Lösungsvorschläge.
• "Beispiele und Gegenbeispiele"
  Warum ist es so wichtig, viele Beispiele und Gegenbeispiele zu kennen? Wie finde ich sie, merke sie mir und arbeite damit?
• "Schusselfehler!!!"
  Hier gibt es ein paar Beispiele aus den Top 20 der Schusselfehler, die ich seit Jahren immer wieder sehe.
• "Strategien für die Algbra-Klausur"
  In der Algebra-Klausur geht es nicht nur darum, zu bestehen, sondern es geht um die Note. Was sind gute Strategien für die Vorbereitung und füur die Bearbeitung der Klausur?
• "Tipps und To-Dos für die Wiederholungsklausur"
  Unter erschwerten Bedingungen (Corona-Pandemie) schreiben wir eine Wiederholungsklausur. Hier gibt es ein paar Hinweise für den Endspurt der Vorbereitung!
• "Hinweise speziell zum Staatsexamen Algebra"
  Im Staatsexamen Algebra hat man keinen Spickzettel und weniger Zeit als in der Modulklausur. Die Themen sind aber die gleichen, und die Mischung an Aufgabentypen ist zumindest ähnlich. Was bedeutet das für die Vorbereitung?